Rappel
La quantité est parfois exprimée sous forme de facteur ou de multiple (le tiers, le double, quatre fois), parfois sous forme de pourcentage (25 %).
Un pourcentage peut aussi s’écrire sous forme de fraction ou de décimale. Le système de fractions du pouce est basé sur 2 et le résultat des opérations mathématiques s’exprime sous forme de :
| fraction | rapport | décimale* | pourcentage | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| $1÷2$ | Opération | $\frac{1}{2}$ | 1:2 | 0,5 | 50 % | |
| $\frac{1}{2} ÷ 2$ | ou | $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ | $\frac{1}{4}$ | 1:4 | 0,25 | 25 % |
| $\frac{1}{4} ÷ 2$ | ou | $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}$ | $\frac{1}{8}$ | 1:8 | 0,125 | 12,5 % |
| $\frac{1}{8} ÷ 2$ | ou | $\frac{1}{8} \times \frac{1}{2}$ | $\frac{1}{16}$ | 1:16 | 0,0625 | 6,25 % |
| $\frac{1}{16} ÷ 2$ | ou | $\frac{1}{16} \times \frac{1}{2}$ | $\frac{1}{32}$ | 1:32 | 0,03125 | 3,125 % |
| $\frac{1}{32} ÷ 2$ | ou | $\frac{1}{32} \times \frac{1}{2}$ | $\frac{1}{64}$ | 1:64 | 0,0150625 | 1,50625 % |
| $\frac{1}{64} ÷ 2$ | ou | $\frac{1}{64} \times \frac{1}{2}$ | $\frac{1}{128}$ | 1:128 | 0,0078125 | 0,78125 % |
Autrement dit :
$$ \frac{1}{2} = 1\text{:}2 = 0,5 = 50% soit 1÷2 $$
Pour convertir un rapport en pourcentage, on utilise la méthode suivante :
Étape 1
$$\frac{5}{8}\quad\frac{\text{valeur inconnue}}{100}$$
Question : quel nombre permet de passer de $8$ à $100$ ? $100 ÷ 8 = \class{example2}{12\text{,}5}$
Étape 2
$$\frac{5}{8} \class{example2}{\times \frac{12\text{,}5}{12\text{,}5}}\quad\frac{\text{valeur inconnue}}{100}$$
$$5 \class{example2}{\times 12\text{,}5} = 62,5$$
À vous
$\frac{N1}{D1}$ = {?}
ANS %
3
16
N1 / D1 * 100
(N1 / D1 * 100).toString().split('.').join(',')
Rappel
Une proportion est un rapport entre deux quantités. Quand les rapports s’accroissent en même temps, on parle de proportionnalité, sinon, on parle de proportionnalité inversée.
Exemple 1
Proportionnalité
2 heures de travail d’un apprenti charpentier coûtent 32,14 $, 5 heures coûtent ? On multiplie les nombres en diagonale :
| 2 | 5 |
| 32,14 | ? |
Ensuite, on divise par le 3e nombre pour obtenir le résultat.
$\frac{32\text{,}14\,\times\,5}{2} =$ ?
2 heures de travail d’un apprenti charpentier coûtent 32,14 $, 5 heures coûtent combien ? On multiplie les nombres en diagonale :
| 2 | 5 |
| 32,14 | 80,35 |
Ensuite, on divise par le 3e nombre pour obtenir le résultat.
$\frac{32\text{,}14\,\times\,5}{2} = 80\text{,}35$
Exemple 2
Proportionnalité inversée
Une tâche prend 7 heures à 2 apprentis, si on a 4 apprentis, le temps sera de ?. On utilise la règle de 3 inversée : on multiplie les chiffres sur la même colonne.
| 7 | ? |
| 2 | 4 |
Ensuite, on divise par le 3e nombre pour obtenir le résultat. On dit que le produit est constant.
$\frac{7 \times 2}{4} =$ ?
Une tâche prend 7 heures à 2 apprentis, si on a 4 apprentis, le temps sera de 3,5. On utilise la règle de 3 inversée : on multiplie les chiffres sur la même colonne.
| 7 | 3,5 |
| 2 | 4 |
Ensuite, on divise par le 3e nombre pour obtenir le résultat. On dit que le produit est constant.
$\frac{7 \times 2}{4} = 3\text{,}5$
À vous
Si vous prenez un seau de I1 litres pour transporter le sable, il faudra I2 tours pour tout transporter. Combien de tours vous faudrait-il avec un seau de I3 litres ? {?}
ANS tours.Il s’agit de proportionnalité inversée.
| 15 | 20 |
| 17 | 12,75 |
$$\frac{15 \times 17}{20} = 12\text{,}75$$
MAIS, comme on ne peut pas faire 0,75 tour, vous en ferez un dernier, soit 13 tours. Vous avez arrondi à l’entier le plus proche.
15
17
20
Math.ceil(I1 * I2 / I3)
ANS_R.toString().split('.').join(',')
À vous
Si vous devez dessiner un plan à l’échelle 1 cm = 75 cm, combien mesurera une pièce de 5 cm (largeur) par 5,6 cm (longueur) sur le plan ?
{?}
La bonne réponse est :
Largeur : ANS_W cm.
Longueur : ANS_D cm.
Il s’agit de
| Largeur | |
| 1 | 5 |
| 75 | 375 |
$$\frac{75 \times 5}{1} = 375$$
| Longueur | |
| 1 | 5,6 |
| 75 | 420 |
$$\frac{75 \times 5,6}{1} = 420$$
Donc la pièce mesure ANS_W cm (largeur) par ANS_D cm (longueur).
5
5.6
1
75
W * SCALE_DENOM / SCALE_NUMER
D * SCALE_DENOM / SCALE_NUMER
Pour approfondir
4 hommes posent 5 000 pi2 de plancher de bois francs en 8 heures. Combien de temps 7 hommes vont-ils prendre ?
heures
La bonne réponse est : ANS
$$\frac{4 \times 480}{7} = 4\text{,}57~\text{h}$$
4.57
ANS_R.toString().split('.').join(',')
Remarque
Attention, la donnée sur la surface de plancher ne sert pas dans le premier calcul. C’est le temps qu’il faut chercher ! La proportionnalité sert à calculer les données qui varient.
Pour calculer le nombre d’heure que mettront 7 hommes, on utilise la proportionnalité inversée.
| 4 | 7 |
| 480 | ? |
À vous
4 hommes posent 5 000 pi2 de plancher de bois francs en 8 heures. Et en 8 heures, combien ces 7 hommes en posent-ils ?
{?} pi2
La bonne réponse est : ANS
$$\frac{7 \times 5\,000}{4} = 8\,750\ \text{pi}^2$$
Remarque
La durée en heures et minutes demande quelques calculs supplémentaires pour convertir les données.
Pour calculer la surface de plancher que poseraient 7 hommes en 8 heures, on utilise la proportionnalité.
Remarque
Attention, la donnée sur le temps de pose ne sert pas dans le second calcul. Qu’ils prennent 8 heures ou 5 heures, c’est la surface qu’il faut chercher !
| 4 | 7 |
| 5000 | ? |