Rappel

Dans certaines applications pratiques en plomberie, vous rencontrerez des fractions impropres et des nombres mixtes surtout en calculant dans le système impérial.

Exemple

Fractions impropres

Une fraction impropre est une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur.

$$\frac{8}{5}$$
$$\frac{16}{3}$$
$$\frac{5}{2}$$
$$\frac{21}{4}$$

Nombres mixtes

Un nombre mixte est une fraction accompagnée d’une valeur entière.

$$2\frac{3}{8}$$
$$3\frac{1}{4}$$
$$4\frac{1}{2}$$
$$5\frac{9}{16}$$

Trucs et astuces 1

Pour calculer, on peut choisir de transformer les nombres mixtes en fractions impropres. Pour cela, on multiplie la partie entière par le dénominateur, on ajoute le numérateur et on place le tout sur le dénominateur.

Exemple

$$\class{example1}{3}\frac{\class{example2}{1}}{\class{example3}{4}}$$
  • La partie entière : 3
  • Le numérateur : 1
  • Le dénominateur : 4

Donc : $$ \class{example1}{3}\frac{\class{example2}{1}}{\class{example3}{4}} = \frac{\class{example1}{3} \times \class{example3}{4}}{\class{example3}{\class{example3}{4}}} + \frac{\class{example2}{1}}{\class{example3}{4}} = \frac{\class{example1}{3} \times \class{example3}{4} + \class{example2}{1}}{\class{example3}{4}} = \frac{13}{\class{example3}{4}} $$

Quand on additionne, soustrait, multiplie ou divise avec des nombres mixtes transformés en fractions impropres, au résultat on peut revenir à un nombre mixte. Pour cela, on divise le numérateur par le dénominateur jusqu’à obtenir un premier reste. Le résultat est la partie entière et on place le reste sur le numérateur pour obtenir la partie fractionnaire.

Exemple

Trucs et astuces 2

Pour calculer on peut aussi choisir de transformer les nombres mixtes en nombres décimaux. Pour cela on isole d’abord la partie entière, puis on convertit la partie fractionnaire en nombre décimal.

Exemple

$$\class{example1}{3}\class{example2}{\frac{1}{4}}$$
  • La partie entière : 3
  • La partie fractionnaire : $\frac{1}{4}$
  • Le nombre décimal : $0\text{,}25$
$$\class{example1}{3} \class{example2}{\frac{1}{4}} = \class{example1}{3} + \class{example2}{\frac{1}{4}} =$$ $$\class{example1}{3} + (\class{example2}{1} \div \class{example2}{4}) = \class{example1}{3} + \class{example3}{0\text{,}25} =$$

Donc :

$$\text{ }\class{example1}{3} \class{example2}{\frac{1}{4}} = 3\text{,}25$$

Attention

Tous les nombres mixtes ne peuvent pas être transformés en nombres décimaux. Parfois la fraction donne une décimale périodique.

Exemples

2/3 = 2 ÷ 3 = 0,666…

1/11 = 1 ÷ 11 = 0,090909…

À vous

Un tuyau a été coupé en 5 tronçons de 18' 1/2, 9' 5/8, 12' 3/4, 8' 1/2 et 12' 1/4. La perte est 1/128' à chaque coupe. Quelle est la longueur totale de tuyau arrondi au pied supérieur à acheter ?

{?} pieds
La bonne réponse est : ANS_R pieds.

Donc y a 4 fois 1/128' de perte, plus tous les tronçons, soit :

$$18\frac{1}{2} + 9\frac{5}{8} + 12\frac{3}{4} + 8\frac{1}{2} + 12\frac{1}{4} + (4 \times \frac{1}{128}) =$$ $$\frac{(18 \times 2) + 1}{2} + \frac{(9 \times 8) + 5}{8} + \frac{(12 \times 4) + 3}{4} + \frac{(8 \times 2) + 1}{2} + \frac{(12 \times 4) + 1}{4} + \frac{(4 \times 1)}{128} =$$ $$\frac{37}{2} + \frac{77}{8} + \frac{51}{4} + \frac{17}{2} + \frac{49}{4} + \frac{1}{32} =$$

On cherche le plus petit commun multiple : ici c’est 32. Ensuite, on procède comme on l’a vu dans la partie Plus petit commun multiple (PPCM) – Plus petit dénominateur commun (PPDC).

$$\frac{37 \times 16}{2 \times 16} + \frac{77 \times 4}{8 \times 4} + \frac{51 \times 8}{4 \times 4} + \frac{17 \times 16}{2 \times 16} + \frac{49 \times 8}{4 \times 8} + \frac{1}{32} =$$ $$\frac{592}{32} + \frac{308}{32} + \frac{408}{32} + \frac{272}{32} + \frac{392}{32} + \frac{1}{32} =$$ $$\frac{592 + 308 + 408 + 272 + 392 + 1}{32} = \frac{1973}{32}$$

On obtient une fraction impropre que l’on transforme en nombre mixte :

On doit donc commander ANS_R" de tuyau.

Remarque : Cela nous fait manipuler des grands nombres. Pour simplifier le calcul, on peut additionner les parties entières d’un côté et les parties fractionnaires de l’autre :

$$18 + 9 + 12 + 8 + 12 + \frac{1}{2} + \frac{5}{8} + \frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{(4 \times 1)}{128} =$$ $$59 + \frac{1}{2} + \frac{5}{8} + \frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{4}{128} =$$

On cherche le plus petit commun multiple : ici c’est 32. Ensuite, on procède comme on l’a vu dans la partie Plus petit commun multiple (PPCM) – Plus petit dénominateur commun (PPDC)

$$59 + \frac{1}{2} + \frac{5}{8} + \frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{32} =$$ $$59 + \frac{1 \times 16}{2 \times 16} + \frac{5 \times 4}{8 \times 4} + \frac{3 \times 8}{4 \times 8} + \frac{1 \times 16}{2 \times 16} + \frac{1 \times 8}{4 \times 8} + \frac{1}{32}=$$ $$59 + \frac{16}{32} + \frac{20}{32} + \frac{24}{32} + \frac{16}{32} + \frac{8}{32} + \frac{1}{32}=$$ $$59 + \frac{16 + 20 + 24 + 16 + 8 + 1}{32} = 59 + \frac{85}{32}$$

On transforme la fraction impropre en nombre mixte :

On ajoute ce résultat à 28, ce qui donne : 30" 7/8

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Pour approfondir ou réviser

http://math.cchic.ca/fractions/entier-fractionnaire